Définitions des ensembles flous

Définition 3.1

Un ensemble flou X dans U. Ici, U désigne l’ensemble de référence. L’ensemble flou A est représenté comme suit :
$$A={\left\langle u,\alpha {x}(u)\right\rangle : u\in U}$$
où la fonction d’appartenance est notée comme (\alpha
{x}:U\rightarrow [0,1]). Chaque ensemble flou dépend d’une fonction d’appartenance, avec une valeur dans l’intervalle ([0, 1]), représenté par (\alpha _{x}(u)).

Définition 3.2

Un ensemble flou intuitionniste X dans U. Sa représentation mathématique est donnée par :
$$S={\left\langle u, \alpha {x}(u),\beta {x}(u)\right\rangle : u\in U}$$
Ici, (\alpha {x}(u)) représente la valeur de membership et (\beta {x}(u)) représente la valeur de non-appartenance. Les valeurs d’appartenance et de non-appartenance se situent toutes deux dans l’intervalle ([0, 1]) et satisfont à la condition (0\le \alpha {x}(u)+\beta {x}(u)\le 1) pour chaque (u\in U).

Définition 3.3

Considérons un ensemble fixe U. L’ensemble flou hésitant (HFS) sur U est défini comme suit :
$$X_{H}={\left\langle u, h(u)\right\rangle : u\in U}$$
L’élément flou hésitant est représenté par (h(u)) dans l’équation ci-dessus, qui indique un degré de membership possible pour chaque élément (u\in U).

Définition 3.4

Un ensemble flou hésitant intuitionniste (IHFs) H sur U. Sa représentation mathématique générale est donnée par :
$$X{H}={\left\langle u,H{1}(u), H{2}(u)\right\rangle : u\in U}$$
Avec (H
{1}(u)) et (H_{2}(u)) représentant respectivement les degrés de membership et de non-membership, chacun satisfaisant les conditions de non-négativité et de somme limitée dans l’intervalle adéquat.

Définition 3.5

L’ensemble flou bipolaire X_{B} dans U. Le degré d’appartenance d’un ensemble flou bipolaire comprend des valeurs à la fois positives et négatives, représentées mathématiquement par :
$$X{B}={\left\langle u,\mu {B}^{P}(u), \mu {B}^{N}(u) \right\rangle : u\in U}$$
avec (\mu
{B}^{P}(u)) et (\mu _{B}^{N}(u)) respectant les valeurs de membership dans les intervalles de leur définition.

Définition 3.6

Un ensemble flou bipolaire dual X_{BDF} sur U. La notation mathématique suit cette structure :
$$X{BDF}={\left\langle u,\mu {B}^{P}(u), \mu {B}^{N}(u),\nu {B}^{P}(u), \nu _{B}^{N}(u)\right\rangle : u\in U}$$
où les degrés de membership et de non-membership sont largement détaillés dans les conditions d’appartenance respective.

Définition 3.7

Prenons en considération deux ensembles flous bipolaires duals :
$$P=\left{ \left\langle u, \mu {B{1}}^{P}(u), \mu {B{1}}^{N}(u), \nu {B{1}}^{P}(u), \nu {B{1}}^{N}(u) \right\rangle : u\in U\right}$$
et
$$R=\left{ \left\langle u, \mu {B{2}}^{P}(u), \mu {B{2}}^{N}(u), \nu {B{2}}^{P}(u), \nu {B{2}}^{N}(u) \right\rangle : u\in U\right}$$
Les opérations d’union et d’intersection sont définies comme suit :
$$(A\cap B)(u)={\mu {B{1}}^{P}(u)\cap \mu {B{2}}^{P}(u), \mu {B{1}}^{N}(u)\cap \mu {B{2}}^{N}(u), \nu {B{1}}^{P}(u)\cap \nu {B{2}}^{P}(u), \nu {B{1}}^{N}(u)\cap \nu {B{2}}^{N}(u)}$$
et
$$(A\cup B)(u)={\mu {B{1}}^{P}(u)\cup \mu {B{2}}^{P}(u), \mu {B{1}}^{N}(u)\cup \mu {B{2}}^{N}(u), \nu {B{1}}^{P}(u)\cup \nu {B{2}}^{P}(u), \nu {B{1}}^{N}(u)\cup \nu {B{2}}^{N}(u)}$$

Définition 3.8

Soit U un ensemble fixé, la représentation des ensembles flous hésitants bipolaires est donnée par :
$$B^{}=\left{ \left\langle u, h_{B}^{}(u)\right\rangle : u\in U \right}$$
où (h_{B}^{*}(u)) définit l’ensemble flou hésitant bipolaire, intégrant les degrés de membership positif et négatif.

Définition 3.9

Considérons deux éléments de l’ensemble flou dual hésitant bipolaire (\hat{h{i}}=\left( \mu {i}^{P}, \mu _{i}^{N}\right)). Nous définissons la fonction de score pour la paire d’ensembles en termes de leur comparaison.

Définition 3.10

La fonction de score des deux nombres flous duals hésitants est donnée par :
$$S{BDHF}=a{BDHF}=\frac{1}{2}\left( 1+ \frac{1}{#\mu ^{+}}\sum {\alpha ^{+}\in \mu ^+}\alpha ^{+}+\frac{1}{#\nu ^{-}}\sum {\beta ^{-}\in \nu ^{-}} \beta ^{-}\right)$$
et la fonction de précision est définie par rapport aux valeurs de membership et non-membership de chaque élément.

Propriétés et opérations

Définissons certaines opérations nouvelles pour les nombres flous hésitants bipolaires (\hat{h}, \hat{h}{1}), et (\hat{h}{2}).

Notre Vision

Dans un monde où l’incertitude et la complexité des données prennent de plus en plus d’ampleur, la compréhension et la modélisation des ensembles flous offrent des perspectives précieuses. Ces modèles permettent non seulement d’interpréter des données imprécises, mais également de mieux appréhender les nuances qui font la richesse et la diversité des réalités humaines et naturelles. Il est essentiel, alors, de dépasser une vision binaire pour adopter une approche plus nuancée des données, car cela pourrait transformer notre manière de concevoir des solutions face à des problèmes complexes.



  • Source image(s) : www.nature.com
  • Source : https://www.nature.com/articles/s41598-024-73180-7

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