Nouvelles opportunités pour la théorie de Kotelnikov dans les télécommunications modernes !

Pour transmettre des signaux analogiques via des canaux numériques, il est nécessaire de procéder à leur discrétisation, ce qui implique un choix de fréquence d’échantillonnage. L’objectif principal est de minimiser la perte d’information durant cette discrétisation. À cet égard, le théorème de Kotelnikov (également connu sous les noms de théorème d’échantillonnage ou de théorème de Nyquist-Shannon) est largement utilisé. Plusieurs appellations du théorème s’expliquent par le fait que Kotelnikov a publié en 1933 un article démontrant ses travaux lors d’une conférence dédiée au quinzième anniversaire de l’Armée Rouge. Naturellement, ce recueil n’ayant pas été diffusé à l’étranger, le théorème de Nyquist-Shannon est apparu de manière indépendante quelques années plus tard.

De manière générale, la discrétisation consiste à remplacer un signal continu par un ensemble de valeurs discrètes, obtenues en convoluant le signal x(t) avec une fonction de poids φ(t). Dans un cas idéal où φ(t) est la fonction δ, la discrétisation produit des valeurs instantanées du signal d’entrée, lesquelles sont utilisées dans le théorème de Kotelnikov. Toutefois, si φ(t) diffère de δ(t), des erreurs dynamiques peuvent apparaître.

Une estimation brute de la dépendance des erreurs dynamiques par rapport à la fonction de poids et aux paramètres du signal peut se faire comme suit. La durée de la fonction de poids φ(t) τ_φ est liée à un paramètre de l’appareil de discrétisation, appelé décalage d’ouverture, représentant une composante systématique du temps de retard d’échantillonnage. L’incertitude de cette durée, Δτ_φ, est liée au temps d’ouverture t_a. Pour évaluer le caractère temporel du signal, on utilise la fonction de corrélation B(t), déterminée par le spectre d’amplitude et indépendante de la forme du signal. Comparons la durée de la fonction de poids τ_φ avec l’intervalle de corrélation τ_к :

Dans ce cas, l’erreur dynamique de la discrétisation peut être estimée par le rapport du temps d’ouverture au temps de corrélation. Effectivement, lorsque φ(t) = δ(t), le temps d’ouverture et le décalage d’ouverture de l’appareil de discrétisation sont nuls, et il n’y a aucune erreur dynamique quelle que soit la vitesse de variation du signal d’entrée. Pour des fonctions de poids réelles où τ_φ ≠ 0, l’erreur dynamique n’est absente que pour des signaux constants.

En 1933, lors de la publication du théorème de Kotelnikov, les vitesses de traitement et de transmission d’information disponibles n’exigeaient pas de conditions rigoureuses sur le matériel d’échantillonnage pour obtenir des valeurs instantanées du signal. Aujourd’hui, le spectre de fréquences des signaux traités s’est déplacé vers la gamme des gigahertz, mais pour obtenir des valeurs instantanées dans la plupart des cas, on utilise toujours le schéma classique de l’appareil d’échantillonnage et de stockage avec commutateur et capacité. Les exigences en matière de réactivité pour la discrétisation de signaux dans cette gamme de fréquences se sont durcies : il faut garantir un temps de fermeture et d’ouverture inférieur à une fraction de nanoseconde et utiliser des condensateurs avec une capacité moindre que celle de la capacitance parasite des éléments environnants. Cette complexité a stimulé le développement de nouvelles méthodes de discrétisation. Ces méthodes exploitent le mécanisme d’erreur dynamique, permettant de réfléchir sur des moyens d’améliorer la précision du processus par une prise en compte de la forme et de la durée de la fonction de poids φ(t) lors de la collecte des échantillons. Ici, la discrétisation est envisagée comme le passage du signal d’entrée à travers un élément avec une fonction de transfert impulsionnelle φ(t). Pour obtenir un échantillon précis du signal d’entrée, un filtre numérique est nécessaire pour réaliser la transformation inverse.

Une autre problématique de la discrétisation concerne le respect des conditions du théorème de Kotelnikov. En effet, ce dernier n’est pas physiquement réalisable dans sa forme exacte car les signaux réels ne peuvent avoir un spectre limité. Le facteur principal déterminant le choix de la fréquence d’échantillonnage est la largeur du spectre spatial du signal. Lorsqu’il s’agit de discrétiser des signaux dont le spectre n’a pas de fréquence limites clairement définies, la sélection de la fréquence d’échantillonnage est souvent réduite à la valeur maximale disponible, car il existe une règle générale : plus la fréquence d’échantillonnage est élevée, moins il y a de pertes associées à la discrétisation dues à la perte de certaines parties du spectre au-delà de la moitié de la fréquence d’échantillonnage.

Nous allons examiner l’erreur de discrétisation d’un signal de durée finie ayant la forme suivante :

Le spectre infini de ce signal apparaît comme suit :

Lors de la discrétisation de signaux réels, afin d’éviter le phénomène de repliement des spectres, un filtre anti-repliement est appliqué, en supprimant les fréquences au-dessus de la moitié de la fréquence d’échantillonnage :

Cela entraîne des distorsions dans le signal reconstruit à partir des valeurs discrètes :

La dépendance de l’erreur de discrétisation de ce signal par rapport à la fréquence d’échantillonnage est la suivante :

En dehors de l’irréalisabilité physique des signaux avec un spectre limité, le théorème de Kotelnikov repose également sur une autre idéalisation non réalisable souvent passée sous silence : l’absence de bruit. L’augmentation de la fréquence d’échantillonnage élargit le champ de fréquences du bruit enregistré, ce qui réduit le rapport signal sur bruit dans le signal numérique. Ainsi, la variation de la fréquence d’échantillonnage a un impact contradictoire sur l’erreur de discrétisation et sur l’erreur due au bruit. Les graphiques présents montrent les dépendances de ces erreurs en fonction de la fréquence d’échantillonnage, lorsque le rapport signal/bruit est de 40 dB :

La dépendance de la valeur quadratique moyenne de l’erreur totale (discrétisation et composante de bruit) par rapport à la fréquence d’échantillonnage se représente comme suit :

Il est clair que l’erreur totale de discrétisation présente un minimum prononcé à une certaine fréquence d’échantillonnage, laquelle dépend du signal et, par conséquent, de l’atténuation de son spectre et de l’intensité du bruit. Ainsi, lors du choix de la fréquence d’échantillonnage, il est essentiel de considérer non seulement les caractéristiques du signal, mais aussi le niveau de bruit. Par conséquent, on peut énoncer une théorème sur la limite supérieure du théorème de Kotelnikov pour des fonctions de durée limitée en présence de bruit : lors de la discrétisation d’une fonction de durée finie avec bruit, il existe une valeur minimale finie d’erreur de discrétisation qui dépend de la forme du spectre de la fonction et du niveau de bruit.

En général, la fréquence d’échantillonnage ne dépasse pas la valeur optimale, mais il existe des exemples de surévaluation injustifiée :

• Format audio DSD avec une fréquence d’échantillonnage de 5,6 MHz
• Smartphones Xiaomi avec une caméra de 200 MP (fréquence d’échantillonnage spatiale au-dessus de l’optimal).